CLASSES DE STEINITZ D'EXTENSIONS NON ABÉLIENNES À GROUPE DE GALOIS D'ORDRE 16 OU EXTRASPÉCIAL D'ORDRE 32 ET PROBLÈME DE PLONGEMENT

Abstract

Soient k un corps de nombres et Cl (k) son groupe des classes. Soit Γ un groupe non abélien d'ordre 16, ou un groupe extraspécial d'ordre 32. Soit Rm(k, Γ) le sous-ensemble de Cl (k) formé par les éléments qui sont réalisables par les classes de Steinitz d'extensions galoisiennes de k, modérément ramifiées et dont le groupe de Galois est isomorphe à Γ. Lorsque Γ est le groupe modulaire d'ordre 16, on suppose que k contienne une racine primitive 4ème de l'unité. Dans cet article on montre que Rm(k, Γ) est le groupe Cl (k) tout entier si le nombre des classes de k est impair. On étudie un problème de plongement en liaison avec les classes de Steinitz dans la perspective de l'étude des classes galoisiennes réalisables. On prouve que pour tout c ∈ Cl (k), il existe une extension quadratique de k, modérée, dont la classe de Steinitz est c, et qui est plongeable dans une extension galoisienne de k, modérée et à groupe de Galois isomorphe à Γ. Let k be a number field and Cl (k) its class group. Let Γ be a nonabelian group of order 16 or an extra-special group of order 32. Let Rm(k, Γ) be the subset of Cl (k) consisting of those classes which are realizable as Steinitz classes of tame Galois extensions of k with Galois group isomorphic to Γ. When Γ is the modular group of order 16, we assume that k contains a primitive 4th root of unity. In the present paper, we show that Rm(k, Γ) is the full group Cl (k) if the class number of k is odd. We study an embedding problem connected with Steinitz classes in the perspective of studying realizable Galois module classes. We prove that for all c∈ Cl (k), there exist a tame quadratic extension of k, with Steinitz class c, and which is embeddable in a tame Galois extension of k with Galois group isomorphic to Γ.