Разностные схемы для уравнения переноса со стоком на основе анализа в пространстве неопределенных коэффициентов

Abstract

Рассматривается семейство разностных схем на явном пятиточечном шаблоне для численного решения линейного уравнения переноса. Для построения и исследования свойств разностных схем использовано обобщенное условие аппроксимации. Проводится анализ разностных схем в пространстве неопределенных коэффициентов. Задача построения оптимальной разностной схемы при этом сводится к задаче линейного программирования. Рассматривается также семейство гибридных разностных схем. Для них параметром переключения будет локально вычисленное безразмерное волновое число. Анализ также показывает, что при построении схем повышенного порядка аппроксимации их локальные свойства будут определяться уменьшенным вдвое (по сравнению со схемой первого порядка аппроксимации) безразмерным волновым числом. Для уравнения переноса с линейным стоком на основе подобного анализа также строится семейство разностных схем. В этом случае возможно больше решений задачи линейного программирования - в число оптимальных попадают схемы повышенного порядка аппроксимации на нерасширенном шаблоне (компактные схемы). Свойства оптимальных схем повышенного порядка аппроксимации в случае уравнения со стоком определяются безразмерным параметром, зависящим как от волнового числа, так и от коэффициента стока. Ввиду того, что для уравнения со стоком разностные схемы обладают несколько лучшими вычислительными качествами, чем для однородного линейного уравнения, при решении систем гиперболического типа методом расщепления целесообразно выделять часть с линейном стоком и именно для нее строить гибридную разностную схему, обладающую переменным порядком аппроксимации на решении дифференциальной задачи. Приведены численные примеры реализованных схем для простейшего линейного уравнения.