Спектр непрерывной замкнутой симметричной цепочки с произвольным числом контуров

Abstract

Исследуется динамическая система с непрерывным временем и непрерывным пространством состояний. Система относится к классу контурных сетей Буслаева. Контурные сети могут использоваться при моделировании трафика на сложных сетях, а также иметь другие приложения, в частности, применяться при моделировании коммуникационных систем. Рассматриваемая система содержит замкнутую последовательность контуров, каждый из которых имеет по две симметрично расположенные общие точки, называемые узлами, с соседними контурами. На каждом контуре движется с постоянной скоростью отрезок, называемый кластером. Это название объясняется тем, что в дискретном варианте транспортной модели такому отрезку соответствует группа частиц, располагающихся в соседних ячейках и перемещающихся одновременно, причем каждая частица соответствует автотранспортному средству. Задержки в перемещении кластеров обусловлены невозможностью одновременного прохождения двух кластеров через общий узел. Динамика системы такова, что с некоторого момента времени периодически повторяются состояния, принадлежащие некоторому множеству (предельный цикл). Каждому предельному циклу соответствуют значение средней скорости кластеров. Это значение в общем случае зависит от начального состояния. Исследуется поведение системы на предельных циклах. Получены результаты о характере поведения рассматриваемой системы на предельном цикле, о значении периода цикла, о поведении функции от состояния, называемой потенциалом задержек. Найдены возможные значения средней скорости кластеров при известных значениях числа контуров и длины кластера. Получены достаточные условия существования предельных циклов при малых длинах кластеров с наличием задержек в движении. Доказана теорема о непрерывной замкнутой цепочке контуров с длиной, равной половине длины контуров. Доказательство этой теоремы основано на сравнении поведения данной системы с поведением рассматривавшейся ранее дискретной системы, называемой бинарной замкнутой цепочкой контуров.