Компактные и монотонные разностные схемы для параболических уравнений

Abstract

В настоящей работе рассматриваются компактные и монотонные разностные схемы четвертого порядка аппроксимации для линейных, полулинейных и квазилинейных уравнений параболического типа. Для уравнения Фишера доказывается монотонность, устойчивость и сходимость предложенных методов в равномерной норме $L_\infty$ или $C$. Полученные результаты обобщаются на квазилинейные параболические уравнения с нелинейностями типа пористой среды. В работе на абстрактном уровне дается определение монотонности разностной схемы в нелинейном случае. Проведенный вычислительный эксперимент иллюстрирует эффективность рассматриваемых методов. В статье указывается способ определения порядка скорости сходимости предложенных методов на основе метода Рунге в случае наличия нескольких переменных и различных порядков по разным переменным.