Numerical solution of the Cauchy problem based on the basic element method

Abstract

Предложен принципиально новый подход к численному решению задачи Коши для ОДУ на основе многочленов в форме базисных элементов. В отличие от явных методов Рунге-Кутты, Адамса и других, предлагаемый подход позволяет решать жесткие задачи. В основе подхода лежит явная схема «предиктор-корректор». Вычисление прогноза на очередном шаге осуществляется с помощью двух многочленов пятой степени, связанных дополнительными условиями, при двойном обращении к правой части уравнения. Погрешность метода регулируется длиной шага $h$ и управляющим параметром $K$, $0 < K<1$. Такая схема устойчива при вычислениях с предельно малым шагом ($h=10^{-17}$, $10^{-15}$). Пятый порядок метода подтвержден тестом для жесткой задачи, а также результатами анализа асимптотически точной оценки погрешности по схеме Ричардсона на последовательности измельчающихся сеток.