«${n}$-$1$» пути на графе--решетке. Случайные блуждания

Abstract

В работе рассмотрен граф-решетка с «$n$-$1$» ограничениями на достижимость, имеющий вершины в точках плоскости с неотрицательными целочисленными координатами. Из каждой вершины выходит две дуги: горизонтальная - в ближайшую правую вершину и вертикальная - в ближайшую верхнюю вершину. Допустимыми путями в случае «$n$-$1$» достижимости являются пути, удовлетворяющие дополнительному условию кратности $n$ количеств дуг в максимальных по вложению отрезках путей, состоящих только из горизонтальных дуг. Это ограничение не распространяется на заключительный отрезок пути, состоящий из горизонтальных дуг. Получена формула для количества «$n$-$1$» путей, ведущих из вершины в вершину, а также формула для количества таких путей, проходящих через заданную вершину графа-решетки. Рассмотрен процесс случайного блуждания по «$n$-$1$» путям на графе-решетке. Показано, что он локально сводим к марковскому процессу на подграфах, определяемых типом начальной вершины. Получены формулы для нахождения вероятностей перехода из вершины в вершину по «$n$-$1$» путям, а также комбинаторные тождества на треугольнике Паскаля.