Доказательства теоремы Брунна - Минковского элементарными методами

Abstract

Приведены новые доказательства классической теоремы Брунна - Минковского об объеме суммы выпуклых многогранников $P_0$, $P_1$ одинакового $n$-мерного объема в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^n$, $n\ge2$: $V_n((1-t)P_0+tP_1)\ge V_n(P_0)=V_n(P_1)$, $0<t<1$, причем равенство имеет место, только если $P_1$ получается из $P_0$ параллельным переносом, в остальных случаях теорема утверждает строгое неравенство. Доказательства основаны на последовательном разбиении гиперплоскостями многогранника $P_0$ на симплексы. Для размерностей $n=2$ и $n=3$ в случае, когда $P_0$ является симплексом (треугольником при $n=2$), для произвольного выпуклого многогранника $P_1\subset\mathbb{R}^n$ построено непрерывное (в метрике Хаусдорфа) однопараметрическое семейство выпуклых многогранников $P_1(s)\subset\mathbb{R}^n$, $s\in[0,1]$, $P_1(0)=P_1$, для которого функция $w(s)=V_n((1-t)P_0+tP_1(s))$ строго монотонно убывает, а $P_1(1)$ получается из $P_0$ параллельным сдвигом. Если $P_1$ не получается из многогранника $P_0$ параллельным переносом, то с помощью элементарных геометрических конструкций установлено существование многогранника $P_1'$, для которого $V_n((1-t)P_0+tP_1)>V_n((1-t)P_0+tP'_1)$.