On representation of solution of the diffusion equation with Dzhrbashyan-Nersesyan operators

Abstract

В работе исследуется параболическое уравнение в частных производных с дробным дифференцированием по одной из двух независимых переменных, ассоциируемой со временем. Такие уравнения принято относить к классу уравнений дробной диффузии. Оператор дробного дифференцирования представляет собой линейную комбинацию двух операторов Джрбашяна-Нерсесяна. Основным результатом работы является теорема об общем представлении регулярных решений исследуемого уравнения в бесконечной полосе. В терминах функции Райта построено фундаментальное решение и изучены его основные свойства. В частности, доказаны формулы дробного дифференцирования, исследовано асимптотическое поведение и получены оценки для фундаментального решения и его производных при больших и малых значениях автомодельной переменной, доказана его положительность. Для построения общего решения использован метод функции Грина, адаптированный к уравнениям, содержащим операторы Джрбашяна-Нерсесяна. К частным случаям рассматриваемого уравнения относятся уравнения с производными Римана-Лиувилля и Герасимова-Капуто. Поэтому полученные результаты остаются справедливыми и для уравнений с этими операторами дробного дифференцирования и их комбинациями. The paper investigates a parabolic partial differential equation with fractional differentiation with respect to one of two independent variables associated with time. Such equations are usually referred to the class of fractional diffusion equations. The fractional differentiation operator is a linear combination of two Dzhrbashyan-Nersesyan operators. The main result of the work is a theorem on the general representation of regular solutions of the equation under study in an infinite strip. A fundamental solution is constructed in terms of the Wright function and its main properties are studied. In particular, formulas for fractional differentiation are proved, the asymptotic behavior is investigated, and estimates are obtained for the fundamental solution and its derivatives for large and small values of the self-similar variable, and its positiveness is proved. To construct a general solution, the Green’s function method adapted to equations containing Dzhrbashyan-Nersesyan operators is used. Particular cases of the equation under consideration include equations with Riemann-Liouville and Gerasimov-Caputo derivatives. Therefore, the results obtained remain valid for equations with these fractional differentiation operators and their combinations.