Задачі зв’язності для узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля

Abstract

В статті використано загальний підхід до розв’язування задач зв’язності для многочленів Аппеля, який базується на тому, що відношення трансферних функцій, які представляють собою формальні степеневі ряди, даних двох сімейств многочленів Аппеля є відомим рядом. Використовуючи рекурентні формули для знаходження коефіцієнтів ряду, який є відношенням двох даних формальних степеневих рядів, ми отримали розв’язок оберненої задачі для узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля.  В загальному випадку розв’язок визначається рекурентними формулами, але у деяких часткових випадках, коли породжуюча функція має простий вигляд, розв’язок оберненої задачі виражається у замкнутій формі, зокрема, для многочленів Гоулда-Хоппера, або для узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля, породжуюча функція яких співпадає із функцією Бесселя першого роду. Користуючись цим же методом і відомим представленням узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля у формі звичайного диференціального оператора, ми знайшли рекурентні формули розв'язку задачі зв'язності між узагальненими гіпергеометричними многочленами Аппеля та многочленами Бернуллі, між узагальненими гіпергеометричними многочленами Аппеля - многочленами Гоулд-Хоппера та між двома різними сімействами узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля. Використовуючи схожий підхід, ми отримали нове рекурентне рівняння для  узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля, коефіцієнти якого визначаються рекурентно, і встановили замкнуту форму декількох перших з них. Частковими випадками отриманого рівняння є, зокрема, відомі рекурентні рівняння для многочленів Гоулда-Хоппера і для многочленів Ерміта. Крім того, розв'язок задачі зв'язності для двох різних сімейств узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля отримано в іншій формі - з використанням значень цих многочленів в нулі.