Constructibilité et modération uniformes en cohomologie étale

Abstract

Soient$S$un schéma nœthérien et$f:X\rightarrow S$un morphisme propre. D’après SGA 4 XIV, pour tout faisceau constructible$\mathscr{F}$de$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$-modules sur$X$, les faisceaux de$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$-modules$\mathtt{R}^{i}f_{\star }\mathscr{F}$, obtenus par image directe (pour la topologie étale), sont également constructibles : il existe une stratification$\mathfrak{S}$de$S$telle que ces faisceaux soient localement constants constructibles sur les strates. À la suite de travaux de N. Katz et G. Laumon, ou L. Illusie, dans le cas particulier où$S$est génériquement de caractéristique nulle ou bien les faisceaux$\mathscr{F}$sont constants (de torsion inversible sur$S$), on étudie ici la dépendance de$\mathfrak{S}$en$\mathscr{F}$. On montre qu’une condition naturelle de constructibilité et modération « uniforme » satisfaite par les faisceaux constants, introduite par O. Gabber, est stable par les foncteurs$\mathtt{R}^{i}f_{\star }$. Si$f$n’est pas supposé propre, ce résultat subsiste sous réserve de modération à l’infini, relativement à$S$. On démontre aussi l’existence de bornes uniformes sur les nombres de Betti, qui s’appliquent notamment pour les fibres des faisceaux$\mathtt{R}^{i}f_{\star }\mathbb{F}_{\ell }$, où$\ell$parcourt les nombres premiers inversibles sur$S$.