Finite difference method for transfer equation with distributed parameters on the network

Abstract

Вопрос построения решения начально-краевой задачи для эволюционного дифференциального уравнения с пространственной переменной, изменяющейся на сети (геометрическом графе) остается в поле зрения исследователей в течении последних нескольких лет. Тому есть немало причин прикладного характера – большое количество математических моделей, описывающих процессы переноса сплошных сред по сетевым носителям, используют формализмы уравнений с частными производными и им соответствующим начально-краевым задачам. В работе используются как классические подходы аппроксимаций дифференциальных уравнений на линейных фрагментах сети (ребрах графа), так и указаны принципы построения аппроксимаций дифференциальных соотношений, порожденных обобщенными условиями Кирхгофа, в точках сочленения этих фрагментов (в узлах графа). Последнее является отличительной особенностью понятия дифференциального уравнений с пространственной переменной, изменяющейся на сети (графе) и ему соответствующего конечно-разностного аналога от классического уравнения и его конечно-разностного аналога. Изучены вопросы аппроксимации эллиптического оператора начально-краевой задачи (установлена погрешность аппроксимаций), устойчивости двухслойной разностной схемы, проведен детальный анализ ее устойчивости. Разработан алгоритм построения решения, основанный на новых численных методов анализа задач переноса в сложноструктурируемых материалах с неравномерно распределенными свойствами сплошной среды по сетевому носителю. Разработана и тестирована ЭВМ-программа на тестовых задачах, ориентированных на задачи прикладного характера.Полученные результаты могут быть использованы при анализе начально-краевых задач для дифференциальных уравнений с распределенными параметрами на многомерной сети, имеющих интересные аналогии с многофазными задачами многомерной гидродинамики. The issue of constructing a solution to an initial-boundary value problem for an evolutionary differential equation with a spatial variable varying on a network (geometric graph) has remained under review of researchers over the past few years. There were many practical reasons for this - a large number of mathematical models describing the transport processes of continuous media over network carriers use formalisms of partial differential equations and their corresponding initial-boundary value problems. In this paper, classical approaches were used for approximating differential equations on linear network fragments (graph edges), along with the principles of constructing approximations of differential relations originated from generalized Kirchhoff conditions at the junction points of these fragments (at the graph nodes) were also indicated. The latter was a distinctive feature of differential equations concept with a spatial variable, changing on a network (graph) and its corresponding finite-difference analogue of the classical equation and finite-difference analogue. The problems of the elliptic operator approximation of the initial-boundary value problem were studied (the error of approximations was established), the stability of the two-layer difference scheme and detailed analysis of its stability was carried out. An algorithm for constructing a solution has been developed, based on new numerical methods for analyzing transport problems in materials with complex structure with non-uniformly distributed properties of a continuous medium over a network carrier. A computer program has been developed and tested on test objectives targeted at applied problems. The obtained results can be used in the analysis of initial-boundary value problems for differential equations with distributed parameters on a multidimensional network having interesting analogies with multiphase problems in multidimensional hydrodynamics.