О локальном времени остановленного случайного блуждания, достигающего высокого уровня

Abstract

Рассматривается целочисленное случайное блуждание $\{S_i, i\geq 0\}$ с нулевым сносом и конечной дисперсией $\sigma ^2$, остановленное в момент $T$ первого достижения полуоси $(-\infty ,0]$. Для случайного процесса, который переменной $u>0$ ставит в соответствие число попаданий указанного блуждания в состояние $\lfloor un\rfloor $ и рассматривается при условии, что $\max _{1\leq i\leq T}S_i>n$, доказана функциональная предельная теорема о его сходимости к локальному времени броуновского прыжка в высоту.