О локальной непрерывности по Гeльдеру минимумов для одного класса интегральных функционалов вариационного исчисления

Abstract

Изучается свойство всюду непрерывности по Гeльдеру минимумов для следующего класса интегральных функционалов: $$ \int_{\Omega}\sum_{\alpha=1}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{p}+G(x,u,|\nabla u^{1}|,…,|\nabla u^{m}|) dx, $$ при некоторых общих условиях на функцию плотности $G$. Наши предположения на функцию $G$ следующие. Пусть $\Omega$ - ограниченное открытое подмножество $\mathbb{R}^{n}$, где $n\geqslant 2$, и пусть $G \colon \Omega \times\mathbb{R}^{m}\times\mathbb{R}_{0,+}^{m}\to\mathbb{R}$ - функция Каратеодори, где $\mathbb{R}_{0,+}=[0,+\infty)$ и $\mathbb{R}_{0,+}^{m}=\mathbb{R}_{0,+}\times …\times\mathbb{R}_{0,+}$ при $m\geqslant 1$. Мы накладываем следующие условия на рост функции $G$: найдется константа $L>1$ такая, что \begin{align*} \sum_{\alpha=1}^{m}|\xi^{\alpha}|^{q}-\sum_{\alpha=1}^{m}|s^{\alpha}|^{q}-a(x) &amp;\leqslant G(x,s^{1},…,s^{m},|\xi^{1}|,…,|\xi^{m}|) &amp;\leqslant L[\sum_{\alpha=1}^{m}|\xi^{\alpha}|^{q}+\sum_{\alpha=1}^{m}|s^{\alpha}|^{q}+a(x) ] \end{align*} для $\mathcal{L}^{n}$-почти всех $x\in \Omega $, любого $s^{\alpha}\in\mathbb{R}$ и любого $\xi^{\alpha}\in\mathbb{R}$ при $\alpha=1,…,m$, $m\geqslant 1$ и для функции $a(x) \in L^{\sigma}(\Omega)$ такой, что $a(x)\geqslant 0$ для $\mathcal{L}^{n}$-почти всех $x\in \Omega$ и чисел $\sigma >{n}/{p}$, $1\leqslant q<p^2/n$ и $1<p<n$. В приведенных предположениях мы доказываем следующий результат о регулярности. Пусть $u\in W^{1,p}(\Omega,\mathbb{R}^{m})$ - локальный минимум рассматриваемого функционала, тогда $u^{\alpha}\in C_{\mathrm{loc}}^{o,\beta_{0}}(\Omega) $ для любого $\alpha=1,…,m$ и некоторого $\beta_{0}\in (0,1) $. Регулярность минимизирующей векторнозначной функции выводится из того, что каждая ее компонента лежит в подходящем классе де Джорджи, откуда и следует непрерывность по Гeльдеру.