Интегрируемые биллиарды на гиперболоиде Минковского: экстремальные многочлены и топология

Abstract

Рассматриваются биллиардные системы в компактных областях, ограниченных софокусными квадриками, на однополостном гиперболоиде в пространстве Минковского. Для таких биллиардов находятся условия эллиптической периодичности. Топология этих биллиардных систем описывается в терминах инвариантов Фоменко, после чего условия периодичности формулируются в терминах функциональных уравнений Пелля и экстремальных многочленов, возникающих в этой связи. Для нескольких примеров мы проводим вычисления в терминах эллиптических функций и классических многочленов Чебышeва и Золотарeва, являющихся экстремальными многочленами на отрезке или паре отрезков. Полученные результаты сопоставляются со случаем биллиардов на евклидовой плоскости и плоскости Минковского. Посвящается Р. Бакстеру в связи с 80-летием со дня его рождения. Библиография: 51 название.