Асимптотики по спектральному параметру для решений $(2 \times 2)$-систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Abstract

Мы рассматриваем $(2 \times 2)$-систему обыкновенных дифференциальных уравнений $$ y'-By=\lambda Ay, \qquad y=y(x), \quad x \in [0, 1], $$ где $A=\operatorname{diag}\{a_1(x), a_2(x)\}$, $B=\{b_{kj}(x)\}_{k, j=1}$, и все функции в этих матрицах комлекснозначные и суммируемые. При выполнении условий $$ a_1,a_2, b_{21},b_{12} \in W^n_1[0,1], \qquad b_{11}, b_{22} \in W^{n-1}_1[0,1], $$ мы получаем $n+1$ членов асимптотического разложения по степеням $\lambda^{-1}$, $\lambda \to \infty$, фундаментальной матрицы решений рассматриваемого уравнения. Эти разложения справедливы в полуплоскостях $\Pi_{\kappa}=\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}{\lambda} \ge -\kappa \}$, $\kappa \in \mathbb{R}$, и $-\Pi_{\kappa}$ при условии $a_1(x)-a_2(x) > 0$. При выполнении условия $\lvert\operatorname{arg}\{a_1(x)-a_2(x)\}\rvert<\phi<\pi /2$ они справедливы в секторах $S=\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \lvert\operatorname{arg}\lambda\rvert \le \pi/2-\phi-\varepsilon\}$, $\varepsilon > 0$, и $-S$. Основная новизна работы в том, что предполагаются минимальные условия на гладкость элементов матриц $A$ и $B$, а формулы для матриц, участвующих в асимптотических разложениях, предъявляются в явном виде. Указанные результаты являются новыми и для системы Дирака. Библиография: 19 названий.