Неавтономные векторные поля на сфере $S^3$: простая динамика и дикое вложение сепаратрис

Abstract

Строятся новые содержательные примеры неавтономных векторных полей на трехмерной сфере, имеющих простую динамику, но нетривиальную топологию. Построение опирается на две идеи: теорию диффеоморфизмов с диким вложением сепаратрис и конструкцию неавтономной надстройки над диффеоморфизмом. В результате получаются периодические, почти периодические и даже нерекуррентные векторные поля, имеющие конечное число особых интегральных кривых, обладающих экспоненциальной дихотомией решений на прямой $\mathbb R$, среди которых одна седловая интегральная кривая (с типом дихотомии $(3,2)$) имеет двумерное неустойчивое дико вложенное многообразие и дико вложенное трехмерное устойчивое многообразие. Все остальные интегральные кривые стремятся к этим особым интегральным кривым при $t\to \pm \infty$. Также строятся неавтономные векторные поля, обладающие $k\ge 2$ специальными седловыми интегральными кривыми с ручным вложением их двумерных неустойчивых многообразий, образующих умеренно дикие пучки в смысле Дебруннера-Фокса. В случае периодических векторных полей соответствующие особые интегральные кривые являются периодическими с периодом векторного поля и являются почти периодическими в случае почти периодического векторного поля.