О количестве наименьших доминирующих множеств в деревьях

Abstract

Рассматривается класс деревьев, степень каждой вершины которых не превосходит целого числа $d$. Показано, что при $d=4$ каждое $n$-вершинное дерево из этого класса содержит не более $(\sqrt{2})^n$ наименьших доминирующих множеств (НДМ), и описана структура деревьев, содержащих ровно $(\sqrt{2})^n$ НДМ. С другой стороны, при $d=5$ для каждого $n \geq 1$ построено $n$-вершинное дерево, содержащее более $(1/3) \cdot 1.415^n$ НДМ. Кроме того, показано, что каждое $n$-вершинное дерево содержит менее $1.4205^n$ НДМ. Библиография: 7 названий.