Отделение коприсоединенных орбит обобщенных алмазных групп Ли

Abstract

Пусть $G$ - связная и односвязная обобщенная алмазная группа Ли типа I, определенная как полупрямое произведение $d$-мерной абелевой группы Ли $N$ и $(2n+1)$-мерной группой Ли Гейзенберга $\mathbb{H}_{2n+1}$ для некоторых $(n,d)\in(\mathbb{N}^*)^2$. Пусть $\mathfrak{g}^*/G$ обозначает множество коприсоединенных орбит группы $G$, где $\mathfrak{g}^*$ - векторное пространство, двойственное к алгебре Ли $\mathfrak{g}$ группы $G$. В этой статье мы обращаемся к проблеме отделения коприсоединенных орбит группы $G$. Сначала рассматривается ситуация с $d=1$; мы доказываем, что замкнутая выпуклая оболочка коприсоединенной орбиты $\mathcal{O}$ в $\mathfrak{g}^*$ характеризует $\mathcal{O}$. При $d\geqslant2$ мы даем отделяющую надгруппу $G^+$ группы $G$. Точнее, мы расширяем группу $G$ до надгруппы, обозначаемой $G^+$, содержащей $G$ в качестве подгруппы, и определяем инъективное отображение $\varphi$ из $\mathfrak{g}^*$ в $(\mathfrak{g}^+)^*$, векторное пространство, двойственное к алгебре Ли $\mathfrak{g}^+$ группы $G^+$; $\varphi$ отправляет каждую $G$-орбиту в $\mathfrak{g}^*$ в $G^+$-орбиту в $(\mathfrak{g}^+)^*$; таким образом, замкнутая выпуклая оболочка множества $\varphi(\mathcal{O})$ характеризует $\mathcal{O}$, где $\mathcal{O}$ - $G$-орбита в $\mathfrak{g}^*$. Библиография: 8 названий.