Весовые системы и инварианты графов и вложенных графов

Abstract

В данной статье описываются недавние достижения в теории весовых систем - функций на хордовых диаграммах, удовлетворяющих так называемым $4$-членным соотношениям. Основное внимание уделено методам построения конкретных весовых систем. Двумя основными источниками конструкций, обсуждаемых в статье, являются инварианты графов пересечений хордовых диаграмм, удовлетворяющие $4$-членным соотношениям для графов, и метризованные алгебры Ли. Для простейшего нетривиального случая метризованной алгебры Ли $\mathfrak{sl}(2)$ мы приводим недавние результаты о явном виде производящих функций для значений весовой системы на важных сериях хордовых диаграмм. Вычисления основаны на рекуррентных соотношениях Чмутова-Варченко. Также мы приводим еще одно недавнее достижение - построение рекуррентных соотношений для вычисления значений $\mathfrak{gl}(N)$-весовой системы. Эти соотношения основываются на предложении М. Э. Казаряна о продолжении $\mathfrak{gl}(N)$-весовой системы на произвольные перестановки. В ряде недавних работ предложен подход к продолжению весовых систем и инвариантов графов на произвольные вложенные графы, основанный на анализе структур соответствующих алгебр Хопфа, и мы описываем основные принципы этого подхода. Весовые системы, определенные на вложенных графах, отвечают инвариантам конечного порядка зацеплений (многокомпонентных узлов). Библиография: 65 названий.