О полной сходимости моментов в точных асимптотиках при нормальной аппроксимации

Abstract

В работе получены новые результаты относительно поведения сумм вида $$ \overline I_s(\varepsilon) = \sum_{n\geqslant 1} n^{s-r/2}\mathbf{E}|S_n|^r \mathbf I[|S_n|\geqslant \varepsilon n^\gamma], $$ где $S_n = X_1 +…+ X_n$, $X_n$, $n\geqslant 1$, являются последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин, $s+1 \geqslant 0$, $r\geqslant 0$, $\gamma>1/2$, а $\varepsilon>0$. В качестве примера приведено следующее обобщение пионерского результата Хейди ("A supplement to the strong law of large numbers", J. Appl. Probab., 12 (1975), 173-175): для любого $r\geqslant 0$ $$ \lim_{\varepsilon\searrow 0}\varepsilon^{2}\sum_{n\geqslant 1} n^{-r/2} \mathbf{E}|S_n|^r \mathbf I[|S_n|\geqslant \varepsilon n] =\mathbf{E} |\xi|^{r+2} $$ тогда и только тогда, когда $\mathbf{E} X=0$ и $\mathbf{E} X^2=1$, а также $\mathbf{E}|X|^{2+r/2}<\infty$, если $r<4$, $\mathbf{E}|X|^r<\infty$, если $r>4$, и $\mathbf{E} X^4 \ln{(1+|X|)}<\infty$, если $r=4$. Здесь $\xi$ обозначает стандартную нормально распределенную случайную величину.