Partial linear eigenvalue statistics for non-Hermitian random matrices

Abstract

Для случайных $(n\times n)$-матриц $X_n$ с независимыми элементами и собственными значениями $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ в основополагающей работе Б. Райдера и Дж. Сильверстейна 2006 г. утверждается, что флуктуации линейных статистик собственных значений $\sum_{i=1}^n f(\lambda_i)$ для достаточно "хороших" тестовых функций $f$ сходятся к гауссовскому распределению. Мы изучаем флуктуации сумм $\sum_{i=1}^{n-K} f(\lambda_i)$, из которых исключены $K$ выбранных случайным образом собственных значений. В этом случае мы находим предельное распределение и показываем, что оно не обязано быть гауссовским. Наши результаты справедливы и в случае, когда $K$ фиксировано, и в случае, когда $K$ стремится к бесконечности с ростом $n$. В доказательстве используются классические положения собственных значений, введенные Э. Мекс и М. Мексом в 2015 г. Как следствие наших методов, мы получаем скорость сходимости эмпирического спектрального распределения матриц $X_n$ к круговому закону в смысле расстояния Вассерштейна, что может представлять и самостоятельный интерес.