$\mu $-Норма оператора

Abstract

Пусть $(\mathcal X,\mu )$ - пространство с мерой. Для любого измеримого множества $Y\subset \mathcal X$ обозначим через $\mathbf 1_Y: \mathcal X\to \mathbb{R} $ индикатор множества $Y$ и через $\pi _Y^ $ ортогональный проектор $L^2(\mathcal X)\ni f\mapsto \pi _Y^ f = \mathbf 1_Y f$. Для произвольного ограниченного оператора $W$ на $L^2(\mathcal X,\mu )$ определим его $\mu $-норму $\|W\|_\mu $ как $\|W\|_\mu = \inf _\chi \sqrt {\sum \mu (Y_j)\|W\pi _Y^ \|^2}$, где нижняя грань берется по всем измеримым разбиениям $\chi =\{Y_1,…,Y_J\}$ пространства $\mathcal X$. В работе содержится доказательство ряда свойств $\mu $-нормы и приводятся примеры вычисления $\mu $-нормы для различных классов операторов. Основной мотивировкой служит задача о построении квантовой энтропии.