$A$-эргодичность операторов свертки в групповых алгебрах

Abstract

Пусть $G$ - локально компактная абелева группа и $\Gamma$ - группа, двойственная ей по Понтрягину. Предположим, что $\mu$ - мера на $G$ с ограниченными степенями и $A=[ a_{n,k}]_{n,k=0}^{\infty}$ - сильно регулярная матрица. Показано, что последовательность $\{\sum_{k=0}^{\infty}a_{n,k}\mu^{k}\ast f\}_{n=0}^{\infty}$ сходится по $L^{1}$-норме для каждого $f\in L^{1}(G)$ тогда и только тогда, когда множество $\mathcal{F}_{\mu}:=\{\gamma \in \Gamma :\widehat{\mu}(\gamma) =1\} $, где $\widehat{\mu}$ - образ меры $\mu$ при преобразовании Фурье-Стилтьеса, открыто-замкнуто в $\Gamma $. Если $\mu $ - вероятностная мера, то $\mathcal{F}_{\mu}$ открыто-замкнуто в $\Gamma $ тогда и только тогда, когда замкнутая подгруппа, порожденная носителем меры $\mu $, компактна.