"Дальнодействие" концентрированных масс в двумерных задачах Неймана и Дирихле

Abstract

Исследуются собственные числа краевых задач Неймана и Дирихле в двумерной области, содержащей несколько мелких, диаметром $O(\varepsilon)$, включений большой "плотности" $O(\varepsilon^{-\gamma})$, $\gamma\geqslant2$, т. е. "масса" $O(\varepsilon^{2-\gamma})$ каждого из них cравнима по порядку ($\gamma=2$) или превосходит ($\gamma>2$) "массу" объемлющего материала. Построена модель такой спектральной задачи о концентрированных массах, которая (модель) обеспечивает асимптотические представления собственных чисел с остатками, имеющими степенной порядок малости $O(\varepsilon^{\vartheta})$ при $\varepsilon\to+0$ и $\vartheta\in(0,1)$. При этом поправочные члены - вещественные аналитические функции параметра $|{\ln \varepsilon}|^{-1}$. Обнаружено "дальнодействие" включений на уровнях $|{\ln \varepsilon}|^{-1}$ или $|{\ln \varepsilon}|^{-2}$. Результаты получены при помощи техники весовых пространств с отделенной асимптотикой, а также весовых оценок решений предельных задач в ограниченной проколотой области и на целой плоскости. Библиография: 37 наименований.