Группа Р. Томпсона $F$ и проблема аменабельности

Abstract

В центре внимания данной работы находится группа Ричарда Томпсона $F$, открытая в 60-х годах прошлого века. Ей посвящено большое число работ. Нас интересует в первую очередь знаменитая проблема аменабельности этой группы, поставленная Россом Гейганом в 1979 г. Предпринимались многочисленные попытки решить еe как в том, так и в другом направлении, но она остаeтся открытой. В данном обзоре мы излагаем наиболее важные известные свойства этой группы, касающиеся проблемы слов, представления элементов группы кусочно линейными функциями, а также диаграммами и другими геометрическими объектами. Излагаются классические результаты М. Брина и К. Сквайера, касающиеся свободных подгрупп и тождеств. Мы включили изложение более современных важных результатов, относящихся к свойствам графов Кэли (конструкция Белка-Брауна), а также теорему Бартольди о свойствах уравнений в групповых кольцах. Отдельно рассматриваются критерии (не)аменабельности групп, полезные для работы по основной проблеме. В конце мы приводим ряд своих результатов о структуре графов Кэли и новом алгоритме решения проблемы слов. Библиография: 69 названий.