О линейных уравнениях динамики

Abstract

Рассматриваются линейные автономные системы дифференциальных уравнений второго порядка, не содержащие первых производных независимых переменных. Такие системы часто встречаются в классической механике. Особый интерес представляют случаи, когда внешние силы не потенциальны. Важный частный случай - уравнения неголономной механики, линеаризованные в окрестности положений равновесия второго рода. Показано, что линейные системы такого вида всегда можно представить в виде уравнений Лагранжа и Гамильтона, причем эти уравнения вполне интегрируемы: они допускают полные наборы независимых инволютивных интегралов, которые квадратичны или линейны по скоростям. Линейные интегралы являются нeтеровыми: их наличие связано с нетривиальными группами симметрий.