Affine diminishing urns

Abstract

Рассматривается широкий класс аффинных регулярных урн с шарами белого и синего цветов, число которых уменьшается последовательными извлечениями совокупностей шаров. Изучается состав урны после различных чисел извлечений. Предполагается, что в начальный момент урна содержит $n$ шаров, число белых шаров равно $\alpha n+g(n)$, где $\alpha\in[0,1]$ и $g(n)=o(n)$. Описан главный фазовый переход при увеличении роста числа $j$ извлечений от сублинейного $j=o(n)$ до линейного $j=\theta n+h(n)$. Для обеих фаз доказаны центральные предельные теоремы, но нормировки в разных фазах существенно различаются. Соотношения между коэффициентами $\theta$, $\alpha$ и возмущающими функциями $g(n)$ и $h(n)$ порождают ряд ограничений и условий на параметры асимптотической нормальности. Доказательства используют рекуррентные соотношения, мартингалы и асимптотический анализ. Обсуждаются два примера применений этого класса урн. Один - обобщенная модель сражения, другой - динамика глубины рынка акций.