New bounds on the nonlinearity of PN and APN functions over finite fields

Abstract

Нелинейность векторной функции над конечным полем в статье определяется как расстояние Хэмминга от нее до множества аффинных отображений в пространстве значений всех векторных функций. Для произвольного поля из $q$ элементов получены нижние границы нелинейности PN- и APN-функций от $n$ переменных, равные $q^n - \sqrt { q^n - 3 \cdot 2^{-2}} - 2^{-1}$ и $q^n - \sqrt { 2q^n - 7 \cdot 2^{-2}} - 2^{-1}$ соответственно и улучшающие ранее известные границы для булевого случая. Показано, что в качестве верхней границы нелинейности таких функций может быть использована величина $q^n - n - 1$. При $q = 2,3,4$ получены точные значения нелинейности PN- и APN-функций малой размерности.