Положительные решения неравномерно эллиптических уравнений с весовой выпукло-вогнутой нелинейностью

Abstract

В данной статье мы доказываем результаты о существовании двух различных положительных решений задачи $$ \frac{\partial}{\partial z_i}(a_{ij}(z) \frac{\partial u}{\partial z_j})+v(x)u^{q-1}+ \mu u^{p-1}=0, \qquad z\in \Omega, \quad u|_{\partial\Omega}=0, $$ содержащей выпуклую и вогнутую нелинейности, параметр $\mu=\operatorname{const}$; переменные $z=(x,y) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^{N-n}$. Матрица коэффициентов $A=\{a_{ij}(z)\}_{i,j=1}^N$ удовлетворяет условию неравномерной эллиптичности $$ C_1(\omega(x)|\xi|^2+|\eta|^2)\leqslant A(z) \zeta \cdot \zeta \leqslant C_2(\omega(x)|\xi|^2+|\eta|^2) $$ в ограниченной области $\Omega \subset \mathbb{R}^N$, $\zeta=(\xi,\eta) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^{N-n}$, $\zeta \ne 0$. Для достижения своих целей мы рассматриваем условия на диапазон изменения показателей нелинейности $q \in (2,2N/(N-2))$ и $p\in (1,N/(N-1))$ (или $p\in (1,2)$ и дополнительное условие $v^{-p/(q-p)}\in L_1(\Omega)$) и $\mu \in (0,\Lambda)$ при достаточно малой $\Lambda$; положительные весовые функции $v \in A_\infty$, $\omega \in A_2$ принадлежат соответствующим классам Маккенхаупта в метрике $n$-мерного евклидового пространства, а также выполняется условие баланса типа Джанило-Видена. Библиография: 25 названий.