Канонический оператор на проколотых лагранжевых многообразиях и формула коммутации с псевдодифференциальными операторами: локальная теория

Abstract

Канонический оператор Маслова на проколотых лагранжевых многообразиях доставляет решение задачи Коши с начальными данными, сосредоточенными вблизи точки или подмногообразия положительной коразмерности, для уравнений и систем волнового типа, у которых корни характеристического уравнения имеют особенности типа негладкости и/или пересечения кратностей при нулевых значениях импульсов. Теория канонического оператора на проколотых лагранжевых многообразиях была построена в статье С. Ю. Доброхотова, А. И. Шафаревича и автора [1], в которой, однако, не была приведена формула коммутации канонического оператора с псевдодифференциальными операторами. Эта формула доказывается в настоящей статье; кроме того, конструкция канонического оператора на проколотых лагранжевых многообразиях излагается в эквивалентном более удобном виде. Мы ограничиваемся локальной теорией (предканонический оператор, или оператор в отдельной карте лагранжева многообразия, отвечающей некоторой невырожденной фазовой функции), так как переход к глобальной конструкции не содержит ничего нового по сравнению со стандартным случаем. Библиография: 12 названий.