Представление решения задачи Коши для одномерного уравнения Шрeдингера с ограниченным гладким потенциалом в виде квазифейнмановских формул

Abstract

Рассматривается задача Коши для уравнения Шрeдингера, гамильтониан которого равен разности оператора умножения на потенциал и оператора взятия второй производной. В рассматриваемой ситуации потенциалом является вещественная дифференцируемая функция вещественного переменного, ограниченная вместе со своей производной. Это уравнение изучается со времен создания квантовой механики и до сих пор является хорошим модельным примером для демонстрации различных методов решения уравнений в частных производных. В настоящей статье решение задачи Коши для этого уравнения находится с помощью теоремы Ремизова в виде квазифейнмановской формулы. Квазифейнмановская формула - это родственное формулам Фейнмана выражение нового типа, содержащее кратные интегралы бесконечно растущей кратности. По сравнению с фейнмановскими формулами такие формулы легче доказывать, но они дают более длинное выражение для решения. В работе все теоремы снабжены подробными доказательствами; кроме того, авторы сознательно ограничили спектр используемых результатов областью классического математического анализа и элементами вещественного анализа, стараясь избегать общих методов функционального анализа. В результате статья получилась довольно длинной, но зато доступной для читателей, не специализирующихся в области функционального анализа. Библиография: 41 наименование.