Сходимость в $L^p$ надкритического многотипного ветвящегося процесса в случайной среде

Abstract

Рассматривается $d$-типный надкритический ветвящийся процесс $Z_n^i=(Z_n^i(1),\ldots ,Z_n^i(d))$, $n\geq 0$, начинающийся с одной частицы типа $i$, в случайной среде $\xi =(\xi _0,\xi _1,\ldots )$, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин. В предыдущей работе авторов была получена теорема типа Кестена-Стигума для $Z_n^i$, утверждающая, что для произвольных $1\leq i,j\leq d$ имеет место сходимость по вероятности $Z_n^i(j)/\mathbb E_\xi Z_n^i(j) \to W^i$ при $n \to +\infty $, где $\mathbb E_\xi Z_n^i(j)$ - условное математическое ожидание величины $Z_n^i(j)$ при условии среды $\xi $, а случайная величина $W^i$ неотрицательна и конечна. В данной работе получено необходимое и достаточное условие для сходимости в $L^p$ величин $Z_n^i(j)/\mathbb E_\xi Z_n^i(j)$ и доказано, что сходимость является экспоненциальной. С этой целью сначала установлены соответствующие результаты для фундаментального мартингала $(W_n^i)$, ассоциированного с процессом $(Z_n^i)$.