Индекс Маслова на симплектических многообразиях. С дополнением А. Т. Фоменко "Построение обобщенного класса Маслова для тотального пространства $W=\mathbb{T}^*(M)$ кокасательного расслоения"

Abstract

Мы обсуждаем геометрические свойства индекса Маслова на симплектических многообразиях. Индекс Маслова строится как гомологический инвариант на лагранжевом подмногообразии некоторого симплектического многообразия. В простейшем случае лагранжево подмногообразие $\Lambda\subset \mathbb{R}^{2n}\approx \mathbb{R}^{n}\oplus\mathbb{R}^{n}$ - это подмногообразие в симплектическом пространстве $\mathbb{R}^{n}\oplus\mathbb{R}^{n}$, симплектическая структура в котором задается невырожденной формой $\omega=\sum_{i=1}^n dx^{i}\wedge dy^{i}$, а $\Lambda\subset\mathbb{R}^{2n}$ - это подмногообразие, $\dim\Lambda=n$, на котором форма $\omega$ тривиальна. В общем случае рассматривается симплектическое многообразие $(W,\omega)$ и расслоение лагранжевых грассманианов $\mathcal{LG}(\mathbb{T}W)$. Вопрос, который нас интересует заключается в следующем: когда индекс Маслова, заданный на индивидуальном лагранжевом многообразии как одномерный класс когомологий, является образом некоторого одномерного класса когомологий тотального пространства $\mathcal{LG}(\mathbb{T}W)$ расслоения лагранжевых грассманианов. Дается ответ для различных классов расслоений лагранжевых грассманианов. Библиография: 6 названий.