Геометрия группы Ли. Инвариантные метрики и динамические системы, двойственная алгебра и их приложения в групповом анализе одномерного кинетического уравнения

Abstract

На группе Ли вводится семейство метрик, инвариантных относительно этой группы и показывается, что кривые, инвариантные относительно этой группы, во всех введенных метриках являются спиралями (т. е. имеют все постоянные кривизны). Оказывается, что существенную роль при этом играет алгебра, которая названа двойственной и задана на той же группе. Основным отношением между этими алгебрами является то, что траектории однопараметрических групп, порожденных одной алгеброй, являются инвариантными кривыми в метрике, инвариантной относительно другой алгебры. То, что эти кривые оказываются спиральными, отличается от подхода Картана, который рассматривал траектории однопараметрических групп как геодезические в некоторой метрике. Представленные результаты связаны с анализом геометрического смысла полученной ранее классификации одномерных кинетических уравнений, где инвариантные кривые представляли собой траектории частиц.