Редукции строгой иерархии Кадомцева-Петвиашвили

Abstract

Пусть $R$ - коммутативная комплексная алгебра и $\partial$ - $\mathbb{C}$-линейное дифференцирование в $R$ такое, что все его степени являются $R$-линейно независимыми. Пусть $R[\partial]$ - алгебра дифференциальных операторов с коэффициентами из $R$, а $Psd$ - ее расширение до алгебры псевдодифференциальных операторов. В алгебре $R[\partial]$ найдены приведенные дифференциальные операторы $\mathbf M_n$ порядка $n\ge 2$ без постоянного члена, удовлетворяющий системе уравнений Лакса, которая определяется лежащим в основе строгой иерархии КП разложением алгебры $Psd$ в прямую сумму двух алгебр Ли. Поскольку этот набор уравнений Лакса является аналогом такого разложения для $n$-й иерархии КдФ, он назван строгой $n$-й иерархией КдФ. Данная система имеет минимальную реализацию, и это позволяет показать, что она обладает свойствами однородности. Кроме того, показано, что система совместна, т. е. строго дифференциальные части операторов $M=(\mathbf M_n)^{1/n}$ удовлетворяют условиям нулевой кривизны, которые являются достаточными для вывода уравнений Лакса для $\mathbf M_n$ и, в частности, для доказательства того, что корень $n$-й степени $M$ из $\mathbf M_n$ есть решение строгой иерархии КП тогда и только тогда, когда $\mathbf M_n$ - решение строгой $n$-й иерархии КдФ. Охарактеризовано место решений строгой $n$-й иерархии КдФ среди ранее известных решений строгой иерархии КП.