О выпуклом многограннике в правильной системе точек

Abstract

Огранка с "начинкой". Идеальная кристаллическая структура состоит из конечного числа равных и параллельных трансляционных точечных решеток. В $\mathbb R^3$ она простирается неограниченно во всех направлениях. Выделим в ней конечную часть, расположенную в замкнутом выпуклом многограннике, каждая грань которого содержит не принадлежащие одной прямой узлы трансляционной точечной решетки, входящей в структуру. Такой многогранник называют возможной огранкой идеальной кристаллической структуры. Широко известны 32 кристаллических класса, или 32 кристаллографические точечные группы. Среди них находится группа симметрии возможной огранки, вычисленная с учетом принадлежащих ей узлов идеальной кристаллической структуры. Циклическая подгруппа $C_n$ группы симметрии любой возможной огранки имеет порядок $n\le 4$ или $n=6$. Огранка без "начинки". В настоящей работе построены две кристаллические структуры, в каждой из которых имеется такой кристаллический многогранник, группа симметрии которого, вычисленная без учета принадлежащих ему узлов кристаллической структуры, обладает поворотной осью порядка $n=8$ или $n=12$ соответственно. В обоих случаях кристаллический многогранник является прямой призмой конечной высоты. Без учета внутреннего строения возможная огранка кристаллической структуры в трехмерном евклидовом пространстве не может обладать поворотной осью другого порядка $n$ при условии $6<n<\infty$. Предлагаемые построения сопровождаются подробными исследованиями идеальных кристаллических структур, а также множеств Делоне $S$ типа $(r, R)$ в $\mathbb R^2$ и $\mathbb R^3$. В частности, предъявлено развернутое доказательство одной из теорем, сформулированной в 2010 г. на Международной конференции, посвященной 120-летию со дня рождения Б. Н. Делоне. Библиография: 31 наименование.