Branching processes in random environment with cooling

Abstract

Известно, что ветвящийся процесс в случайной среде тесно связан с соответствующим случайным блужданием $S_n = \xi_1 + \dotsb + \xi_n$, где $\xi_k = \ln \varphi_{\eta_k}'(1)$. Здесь $\varphi_x (t)$ и $\{ \eta_k \}_{k = 1}^{\infty}$ - производящая функция числа потомков и случайная среда соответственно. В статье изучается вероятность вырождения ветвящегося процесса в случайной среде с замораживаниями при $\mathsf{E} \xi_1 > 0$, отличающегося от обычного ветвящегося процесса в случайной среде тем, что каждое значение среды устанавливается на несколько поколений. Оказывается, что такой процесс также тесно связан со случайным блужданием $S_n = \tau_1 \xi_1 + \dotsb + \tau_n \xi_n$, где $\xi_k = \ln \varphi_{\eta_k}'(1)$. Здесь $\varphi_x (t)$ и $\{ \eta_k \}_{k = 1}^{\infty}$ - производящая функция числа потомков одной частицы при условии среды $x$ и случайная среда соответственно, а $\tau_k$ - длительность $k$-го замораживания. Статья содержит несколько условий, достаточных для невырождения процесса с положительной вероятностью, и несколько условий, достаточных для вырождения процесса с вероятностью $1$.