Пространства типа Бургейна-Морри со структурой пространств Бесова

Abstract

Пространства Бургейна-Морри $\mathcal {M}^p_{q,r}(\mathbb R^n)$, обобщающие пространства, введенные Ж. Бургейном, играют важную роль в исследованиях, связанных с оценкой Стрихарца и с нелинейным уравнением Шрeдингера. В данной работе с помощью дополнительного параметра $\tau $ вводится новый интересный класс функциональных пространств $\mathcal {M}\dot {B}^{p,\tau }_{q,r}(\mathbb R^n)$, названных пространствами Бесова-Бургейна-Морри. Эти пространства оказываются связующим мостом между пространствами Бургейна-Морри $\mathcal {M}^p_{q,r}(\mathbb R^n)$ и пространствами амальгамного типа $(L^q,\ell ^r)^p(\mathbb R^n)$. Предложена конструкция преддвойственного и двойственного пространств для $\mathcal {M}\dot {B}^{p,\tau }_{q,r}(\mathbb R^n)$, ключевую роль в которой играет свойство Фату блочных пространств в слабой локальной топологии пространства $L^{q'}(\mathbb R^n)$. На основе этих свойств с помощью произведения Кальдерона установлена комплексная интерполяция пространств $\mathcal {M}\dot {B}^{p,\tau }_{q,r}(\mathbb R^n)$. Построена норма интегрального типа, эквивалентная $\|\kern 1pt{\cdot }\kern 1pt\|_{\mathcal {M}\dot {B}^{p,\tau }_{q,r}(\mathbb R^n)}$, конструкция которой существенно опирается на тонкие геометрические свойства двоичных кубов. С помощью этой нормы получен критерий ограниченности операторов на $\mathcal {M}\dot {B}^{p,\tau }_{q,r}(\mathbb R^n)$. Данный критерий позволяет установить ограниченность на $\mathcal {M}\dot {B}^{p,\tau }_{q,r}(\mathbb R^n)$ классических операторов, включая максимальный оператор Харди-Литтлвуда, дробный интеграл и оператор Кальдерона-Зигмунда.