О минимуме случайного блуждания, сосредоточенного на неотрицательной полуоси

Abstract

Пусть \begin{equation*} S_{0}=0,\qquad S_{n}=X_{1}+…+X_{n},\quad n\geqslant 1, \end{equation*} - случайное блуждание, приращения которого принадлежат (без центрирования) области притяжения устойчивого распределения, а $a_{n}$ - нормирующие константы, обеспечивающие сходимость при $n\to\infty$ распределений последовательности $\{S_{n}/a_{n}, n=1,2,…\}$ к этому устойчивому распределению. Пусть $L_{r,n}=\min_{r\leqslant m\leqslant n}S_{m}$ - минимум случайного блуждания на интервале $[r,n]$. Показано, что в зависимости от соотношений между параметрами $r$, $k$ и $n$ предел \begin{equation*} \lim_{n,r,k\rightarrow \infty }\mathbf{P}( L_{r,n}\leqslant ya_{k}\mid S_{n}\leqslant ta_{k},L_{0,n}\geqslant 0), \quad t\in(0,\infty), \end{equation*} может иметь пять различных выражений.