Усреднение эллиптических и параболических уравнений с периодическими коэффициентами в ограниченной области при условии Неймана

Abstract

Пусть $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ - ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. В пространстве $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ рассматривается самосопряженный матричный эллиптический дифференциальный оператор $B_{N,\varepsilon}$, $0<\varepsilon\leqslant1$, второго порядка при условии Неймана на границе. Старшая часть оператора задана в факторизованной форме. Оператор включает члены первого и нулевого порядков. Коэффициенты оператора $B_{N,\varepsilon}$ периодичны и зависят от $\mathbf{x}/\varepsilon$. Изучается обобщенная резольвента $(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0( {\cdot} /\varepsilon))^{-1}$, где $Q_0$ - периодическая ограниченная и положительно определенная матрица-функция, а $\zeta$ - комплексный параметр. Получены аппроксимации обобщенной резольвенты по операторной норме в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ и по норме операторов, действующих из $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в класс Соболева $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, с двухпараметрическими (относительно $\varepsilon$ и $\zeta$) оценками погрешности. Результаты применяются к изучению поведения решений начально-краевой задачи с условием Неймана для параболического уравнения $Q_0(\mathbf{x}/\varepsilon) \partial_t \mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},t) = -(B_{N,\varepsilon} \mathbf{u}_\varepsilon)(\mathbf{x},t)$ в цилиндре $\mathcal{O} \times (0,T)$, где $0<T \le \infty$. Библиография: 51 наименование.