On one limit theorem for branching random walks

Abstract

Общая теория марковских случайных процессов была заложена А. Н. Колмогоровым. К таким процессам относятся ветвящиеся случайные блуждания по решеткам $\mathbf{Z}^d$, $d\in\mathbf{N}$. Мы рассмотрим ветвящееся случайное блуждание, в котором частицы могут погибать и производить потомство, находясь в любой точке решетки. Перемещение каждой частицы по $\mathbf{Z}^d$ описывается симметричным, однородным и неприводимым случайным блужданием. Интенсивность ветвления частиц в точке $x\in \mathbf{Z}^d$ стремится к нулю при $\|x\|\to\infty$, и выполнено дополнительное условие на параметры ветвящегося случайного блуждания, гарантирующее экспоненциальный по времени рост среднего числа частиц в каждой точке $\mathbf{Z}^d$. В правой части уравнения для среднего числа частиц в этом случае возникает возмущение оператора, задающего блуждание, вызванное возможностью генерации частиц в точке $\mathbf{Z}^d$. Подобного рода уравнения с возмущением оператора диффузии в $\mathbf{R}^2$ были рассмотрены в работе Колмогорова-Петровского-Пискунова в 1937 г. и продолжают исследоваться в теории ветвящихся случайных блужданий на дискретных структурах. В перечисленных выше предположениях доказывается предельная теорема о сходимости в среднеквадратическом нормированного числа частиц в произвольной фиксированной точке решетки при $t\to\infty$.