Дальнодействие малых спектральных возмущений граничных условий Неймана для эллиптической системы дифференциальных уравнений в трехмерной области

Abstract

Рассматривается формально самосопряженная система дифференциальных уравнений второго порядка в трехмерной области, на малых участках границы которой поставлен аналог спектральных условий Стеклова, а на оставшейся части - краевые условия Неймана. При некоторых алгебраических и геометрических условиях построена асимптотика собственных чисел этой задачи и образована предельная задача, которая предоставляет главные асимптотические члены и включает системы интегро-дифференциальных уравнений в полупространствах, связанные между собой посредством некоторых интегральных характеристик собственных вектор-функций. Один из примеров конкретных задач математической физики описывает поверхностные волны в нескольких прорубях в ледяном покрове водоема, а асимптотическая формула для частот собственных колебаний показывает, что локальные волновые процессы взаимодействуют вне зависимости от расстояния между прорубями. Другая серия прикладных задач относится к упругим креплениям тел на малых участках их поверхностей. Обсуждаются возможные обобщения и сформулированы многие смежные открытые вопросы. Библиография: 41 название.