Обратимость операторов в гильбертовом пространстве и идеалы в $C^*$-алгебрах

Abstract

Пусть $\mathcal{H}$ - гильбертово пространство над полем $\mathbb{C}$, $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ - $\ast$-алгебра всех линейных ограниченных операторов в $\mathcal{H}$. Найдены достаточные условия положительности и обратимости операторов из $\mathcal{B}(\mathcal{H})$. Произвольная симметрия из алгебры фон Неймана $\mathcal{A}$ записана в виде произведения $A^{-1}UA$ c положительным обратимым $A$ и самосопряженным унитарным $U$ из $\mathcal{A}$. Пусть $\varphi$ - вес на алгебре фон Неймана $\mathcal{A}$, $A\in \mathcal{A}$ и $\|A\|\leqslant 1$. Если $A^*A-I\in \mathfrak{N}_{\varphi}$, то $|A|-I\in \mathfrak{N}_{\varphi}$ и для любой изометрии $U\in \mathcal{A}$ выполняется неравенство $\|A-U\|_{\varphi,2}\geqslant \||A|-I\|_{\varphi,2}$. Если оператор $U$ является унитарным оператором из полярного разложения обратимого оператора $A$, то в этом неравенстве достигается равенство. Библиография: 24 названия.