Об операторах смежности локально конечных графов

Abstract

Граф $\Gamma$ называется локально конечным, если у графа $\Gamma$ для каждой вершины $v$ множество $\Gamma(v)$ смежных с ней вершин конечно. Для произвольного локально конечного графа $\Gamma$ с множеством вершин $V(\Gamma)$ и произвольного поля $F$ на $F^{V(\Gamma)}$ (векторном пространстве над $F$ всех функций $V(\Gamma) \to F$ с естественными покомпонентными операциями) определен линейный оператор $A^{(\mathrm{alg})}_{\Gamma,F}\colon F^{V(\Gamma)} \to F^{V(\Gamma)}$, посредством $(A^{(\mathrm{alg})}_{\Gamma,F}(f))(v)=\sum_{u \in \Gamma(v)}f(u)$ для всех $f\in F^{V(\Gamma)}$, $v \in V(\Gamma)$. В случае конечного графа $\Gamma$ отображение $A^{(\mathrm{alg})}_{\Gamma,F}$ есть хорошо известный оператор, определяемый матрицей смежности графа $\Gamma$ (над $F$), и теория собственных значений и собственных функций таких операторов составляет (по крайней мере, в случае $F=\mathbb{C}$) хорошо разработанный раздел теории конечных графов. В настоящей работе разрабатывается теория собственных значений и собственных функций операторов $A^{(\mathrm{alg})}_{\Gamma,F}$ для бесконечных локально конечных графов $\Gamma$ (впрочем, отдельные ее результаты могут представлять интерес для конечных графов) и произвольных полей $F$, хотя особый акцент делается на случай, когда $\Gamma$ - связный граф с ограниченными в совокупности степенями вершин и $F=\mathbb{C}$. Предпринимавшиеся ранее попытки в этом направлении не были, по мнению автора, вполне удовлетворительными в том смысле, что ограничивались рассмотрением лишь собственных функций весьма специального вида (и соответствующих им собственных значений). Библиография: 18 наименований.