The orbit spaces $G_{n,2}/T^n$ and the Chow quotients $G_{n,2}//(\mathbb C^{\ast})^n$ of the Grassmann manifolds $G_{n,2}$

Abstract

Комплексные многообразия Грассмана $G_{n,k}$ являются фундаментальными объектами в развитии взаимосвязей алгебраической геометрии и алгебраической топологии. Случай $k=2$ выделяется особо, так как многообразия $G_{n,2}$ обладают несколькими замечательными свойствами, отличающими их от многообразий с $k>2$. Эта статья посвящена результатам, существенно использующим специфику многообразий $G_{n,2}$. Они относятся к известным задачам о каноническом действии алгебраического тора $(\mathbb{C}^{\ast})^n$ на $G_{n,2}$ и индуцированном действии компактного тора $T^n\subset(\mathbb{C}^{\ast})^n$. М. Капранов доказал, что компактификацию Делиня-Мамфорда-Гротендика-Кнудсена $\overline{\mathcal{M}}(0,n)$ пространства рациональных стабильных кривых с $n$ пронумерованными отмеченными точками можно отождествить с фактором Чжоу $G_{n,2}//(\mathbb{C}^{\ast})^n$. В наших недавних работах было дано конструктивное описание пространства орбит $G_{n,2}/T^n$. В этом результате важную роль играют понятия комплекса допустимых многогранников $P_\sigma$, пространств параметров $F_\sigma$ и универсального пространства $\mathcal{F}_n$ параметров $T^n$-действия на $G_{n,2}$. В настоящей статье получена явная конструкция пространства $\mathcal{F}_n$ методом замечательной компактификации. На основе этой конструкции и описания пространства $\overline{\mathcal{M}}(0,n)$ из работы Киля мы получили явный диффеоморфизм между $\mathcal{F}_n$ и $\overline{\mathcal{M}}(0,n)$. Таким образом, получена реализация фактора Чжоу $G_{n,2}//(\mathbb{C}^{\ast})^n$ в виде пространства $\mathcal{F}_n$ со структурой, в описании которой участвуют допустимые многогранники $P_\sigma$ и пространства $F_\sigma$. Библиография: 32 названия.