Устойчивость аневризмы в мембранной трубке, заполненной идеальной жидкостью

Abstract

Проведено исследование устойчивости стоячих локализованных структур, формирующихся в заполненной жидкостью осесимметричной мембранной трубке. Предполагается, что стенка трубки неоднородна и подвержена локализованному утоньшению. Так как в случае неоднородной стенки задача не имеет трансляционной инвариантности, под устойчивостью стоячей локализованной структуры, расположенной в центре неоднородности стенки трубки, понимается обычная, а не орбитальная устойчивость с точностью до сдвига. Рассматривается спектральная устойчивость локализованных волн возвышения уровня в контексте формирования аневризмы на человеческих сосудах. Жидкость, протекающая внутри трубки, предполагается идеальной несжимаемой, и профиль ее продольной скорости постоянен по вертикальному сечению трубки. Спектральная устойчивость установлена путем доказательства отсутствия собственных значений с положительной вещественной частью, отвечающих экспоненциально растущим по времени возмущениям, являющихся решениями линеаризованных уравнений задачи. Исследование устойчивости проводится при помощи построения функции Эванса, зависящей только от спектрального параметра и аналитической в правой комплексной полуплоскости $\Omega^+$. Нули функции Эванса в $\Omega^+$ совпадают с неустойчивыми собственными значениями задачи. Отсутствие нулей в $\Omega^+$ доказывается при помощи применения принципа аргумента из комплексного анализа.