Matrix Kadomtsev-Petviashvili equation: Tropical limit, Yang-Baxter and pentagon maps

Abstract

Носителем решений матричного уравнения Кадомцева-Петвиашвили II в тропическом пределе в фиксированный момент времени является плоский граф с прикрепленными к его линейным частям "поляризациями". Исследуется подкласс солитонных решений, граф которых в тропическом пределе имеет вид корневого и в общем случае бинарного дерева, а также решения, у которых предельный граф состоит из двух взаимно перевернутых графов типа корневого дерева. Распределение поляризаций над линиями графа полностью определяется зависящей от параметров бинарной операцией и (нелинейным в общем случае) отображением Янга-Бакстера, которое становится линейным для векторного уравнения Кадомцева-Петвиашвили и, следовательно, задается $R$-матрицей. Зависимость бинарной операции от параметров приводит к решению уравнения пентагона, для которого выявляется некоторая связь с дилогарифмом Роджерса через решение уравнения гексагона, следующего члена семейства уравнений многоугольников. Оказалось, что полученное для векторного уравнения Кадомцева-Петвиашвили обобщение $R$-матрицы тоже удовлетворяет уравнению пентагона. При этом соответствующая локальная версия последнего приводит к новому решению уравнения гексагона.