Предельное поведение порядковых статистик на длинах циклов случайных $A$-подстановок

Abstract

Рассматривается случайная подстановка $\tau_n$, равномерно распределенная на множестве всех подстановок степени $n$, длины циклов которых принадлежат фиксированному множеству $A$ (так называемых $A$-подстановок). Пусть $\zeta_n$ - общее число циклов и $\eta_n(1)\leqslant\eta_n(2)\leqslant…\leqslant\eta_n(\zeta_n)$ - вариационный ряд длин циклов подстановки $\tau_n$. Рассматривается некоторый класс множеств $A$, обладающих положительной плотностью в множестве натуральных чисел. В настоящей заметке мы изучаем асимптотическое поведение $\eta_n(m)$ с номерами $m$, находящимися в левой и средней части этого ряда для определенного класса множеств положительной асимптотической плотности. Предельная теорема для крайних правых членов этого ряда была доказана автором ранее. Задача изучения предельных свойств последовательности $\eta_n(m)$ восходит к работе Л. А. Шеппа и С. П. Ллойда (1966 г.), в которой рассматривалась ситуация, когда $A=\mathbf N$.