Комбинаторные следствия многих делителей нуля в групповом кольце

Abstract

В работе Крута, Льва и Паха и последующей работе Элленберга и Гийсвейта было доказано, что для группы $G=G_0^n$, где $G_0\ne \{1,-1\}^m$ - фиксированная абелева группа и $n$ велико, любое множество $A\subset G$ без 3-прогрессий (т. е. таких троек $x$, $y$, $z$ различных элементов, что $xy=z^2$) содержит не больше чем $|G|^{1-c}$ элементов, где константа $c>0$ зависит только от $G_0$. Если $G$, скажем, - большая циклическая группа, то это неверно. Цель настоящей работы - показать, что алгебраическое свойство группы, отвечающее этому различию, таково: в первом случае групповая алгебра $\mathbb{F}[G]$ над подходящим полем $\mathbb{F}$ содержит подпространство $X$ коразмерности не больше чем $|X|^{1-c}$, для которого $X^3=0$. Мы обсуждаем оценки, которые получаются для абелевых $p$-групп и некоторых матричных $p$-групп: группы Гейзенберга над $\mathbb{F}_p$ и унитреугольной группы над $\mathbb{F}_p$. Также мы показываем, как этот метод позволяет обобщить результаты о мультипликативных $k$-сочетаниях и о покрытии произведения множеств произведениями меньших множеств.