Representations of skew linear recurrent sequences of maximal period over finite field

Abstract

Пусть $p$ - простое число, $R=\mathrm{GF}(q)$ - поле из $q$ элементов, где $q = p^r$, $S=\mathrm{GF}(q^{n})$ - его расширение степени $n$ и $\check{S}$ - кольцо линейных преобразований векторного пространства $_RS$. Последовательность $v$ над $S$, удовлетворяющую закону рекурсии $$ \forall i\in\mathbb{N}_0\colon v(i+m)= \psi_{m-1}(v(i+m-1))+\ldots+\psi_0(v(i)),\psi_0,\ldots,\psi_{m-1 }\in\check{S}, $$ будем называть скрученной линейной рекуррентной последовательностью над $S$ порядка $m$ с характеристическим многочленом $\Psi(x) = x^m - \sum_{j=0}^{m-1}\psi_jx^j$. Максимально возможный период последовательности такого вида равен $ q^{mn}-1$. Пусть $v$ - скрученная ЛРП максимального периода над $S$. Далее для произвольного кольца $J$ с единицей $\mathbf{e}$, для которого элемент $q\mathbf{e}$ не является делителем нуля, и отображения $f: S \to J$ при некоторых условиях описан аннулятор последовательности $f(v)$.